B013025 - TOPOLOGIA DIFFERENZIALE

Italiano

A) Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Universitext, 2011
Springer-Verlag New York
Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups
Graduate Texts in Mathematics, 94, 1983
Springer-Verlag New York
B) James Munkres, Topology, 2nd Edition, Pearson, 2000 (o mettiamo la prima edizione del
75)
C) Raoul Bott, Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology,
Graduate Texts in Mathematics, 82, 1982, Springer-Verlag New York
D) I.M. Singer, J.A. Thorpe,Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,
Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York
E) Loring W. Tu, Differential Geometry Connections, Curvature, and Characteristic Classes
Graduate Texts in Mathematics, 275, 2017
Springer International Publishing

Gli obiettivi sono quelli di fornire strumenti avanzati di topologia e geometria differenziale che possano essere utili nell'affrontare e sviluppare argomenti di fisica teorica e fisica matematica.

Algebra lineare, qualche nozione di topologia generale, calculus.

Lezioni frontali alla lavagna con la partecipazione attiva degli studenti.

esame orale, atto a verificare l'apprendimento delle nozioni fornite nonché la capacità dello studente nell'applicazione di queste ad alcuni semplici problemi geometrici.

Introduzione alle varietà differenziabili e gruppi di Lie.
Elementi di algebra multilineare.
Partizioni dell'unità.
Algebra delle forme differenziali e differenziale di una forma.
Complesso di De Rham di una varietà differenziabile, anche a supporto compatto.
La successione di Mayer-Vietoris.
Orientazione, integrazione e teorema di Stokes.
Omotopia.
Lemma di Poincaré e invarianza per omotopia.
Omologia simpliciale e Teorema di De Rham.
Fibrati Principali: definizioni ed esempi fondamentali, funzioni di transizione, sezioni e banalizzazioni locali.Classificazione dei fibrati principali con gruppi U(2), SU(2) e SO(3) su sfere n-dimensionali; cenno alla classificazione dei G-fibrati principali su una varieta' M mediante H^1(M,G).
Fibrati associati: definizioni ed esempi fondamentali, fibrati vettoriali, gruppo di Gauge.
Formula di Künneth e Teorema di Leray-Hirsch (senza dimostrazione).
Connessioni su Fibrati: definizioni ed esempi fondamentali, forme di connessione, sollevamenti orizzontali e trasporto parallelo.
Forma di Curvatura e sue interpretazioni geometriche.
Olonomia. Cenno alle classi caratteristiche.
Il funzionale di Yang-Mills.