Oltre alle dispense del Docente testi consigliati sono:
K. Huang Meccanica Statistica, Zanichelli
Khinchin, Mathematical Foundations of Statistical Mechanics, Dover 1949
Balian From Microphysics to Macrophysics Vol 1.
Feynmann, Statistical Mechanics. A set of Lectures.
N. Goldenfeld, Lectures on phase transitions and the renormalisation group (Westview-Perseus, 1992)
L. Peliti, Statistical physics in a nutshell (Princeton, 2011)
Obiettivi Formativi
Il corso si pone i seguenti obiettivi:
1. Conoscenza e comprensione dei temi propri della meccanica statistica avanzata, da quelli più tradizionali ai più moderni ed attuali
2. Acquisizione di un "cassetta degli attrezzi" del "meccanico statistico", da utilizzare nello studio di nuovi problemi e applicare in maniera intersettoriale
3. Sviluppo di capacità comunicative di argomento scientifico
Prerequisiti
Meccanica Classica. Meccanica Quantistica. Termodinamica. Metodi matematici per la fisica. Elementi di teoria della probabilità.
Modalità di verifica apprendimento
Esame Orale
Programma del corso
Richiami di Termodinamica: Il primo ed il secondo principio. Potenziali termodinamici. Potenziali di Massieu. Fondamenti meccanici della termodinamica: Modellino di particella in scatola 1D con variazione lenta del volume della scatola. Calcolo della "temperatura", "pressione" e quindi dell' "entropia". "Entropia" come invariante adiabatico. Il teorema di Helmholtz (enunciato).
Teorema di Halmholtz (enunciato). Ergodicità dei sisyemi 1D. Insieme microcanonico. Ipersuperficie di energia costante. Volume di fase $\Omega$ e funzione di struttura $\omega$. Teorema microcanonico di equipartizone (enunciato e dimostrazione). Teorema di Helmholtz generalizzato (enunciato e dimostrazione). Applicazione del teorema di Helmholtz: gas perfetto.
Distribuzione microcanonica. Ipotesi ergodica e indecomponibilità metrica. Misura invariante sulle superfici di energia costante. Integrazione sulle superici di energia costante e sul volume che racchiudono. Funzione di struttura come densità degli stati. Legge di composizione delle funzioni di struttura e dei volumi di fase (convoluzione). Distribuzione nello spazio delle fasi di un sottosistema di un sistema che obbedisca la statistica microcanonica. Caso di sistema generico in contatto debole con gas di N particelle libere. Limite di N grande: distribuzione canonica.
Iniseme canonico (classico) Teorema di equipartizione. Esattezza del differenziale (dU+PdV)/T ed espressione dell'entropia S. Espressione del potenziale di Massieu e dell'energia libera F in termini di funzione di partizione. Funzione di partizione come trasformata di Laplace della densità degli stati. Composizione delle funzioni di partizione per sistemi multipartiti. Gas perfetto nell'insime canonico. Fluttuazioni di energia nell'Insime canonico.
Iniseme PT(classico) Teorema di equipartizione. Esattezza del differenziale (dU+PdV)/T ed espressione dell'entropia S. Espressione del potenziale di Massieu e dell'energia libera di Gibbs in termini di funzione di partizione Q. Funzione di partizione Q come trasformata di Laplace della funzione di partizone Z. Interpretazione fisica dell'insieme PT.
Insieme Grancanonico (classico) Teorema di equipartizione. Esattezza del differenziale (dU+PdV-\mu dN)/T ed espressione dell'entropia S. Espressione del potenziale di Massieu e del gran potenziale in termini di funzione di partizione \Xi. Funzione di partizione \Xi come trasformata discreta di Laplace della funzione di partizone Z.
Fluttuazioni e funzioni di correlazione come derivate di ordine 2 del potenziale di Massieu. Fluttuazioni e funzioni di correlazione nell'insieme PT. Paradosso di Gibbs. Conteggio corretto del volume di fase. Gas perfetto nell'insime grancanonico. Calcolo delle quantità termodinamiche, dele fluttuazioni e delle funzioni di correlazione. Carattere Poissoninao della statistica del numero di particelle. Applicazioni: Modello di Hilbert e Dunkel 1D. Derivazione dell'Equazione di Van der Waals nell'insieme canonico attrverso sviluppo del viriale
Statistica Quantistica. Inadeguatezza del concetto di vettore di stato per la descrizione di sistemi fisici aperti. Mistura di stati. Operatore densità e sue proprietà. Stati puri e stati misti. Operatore densità di un sottosistema (operatore densità ridotto). Equazione di Liouville Von Neumann.
Operatori densità in meccanica statistica. L'operatore densità microcanonico. L'operatore densità per la sottoparte di un sistema microcanonico nell'approssimazione di accoppiamento debole. Sistema debolmente accoppiato a gas perfetto e derivazione dell'operatore densità canonico. Ensemble canonico quantistico come buon modello di termodinamica.
Informazione in teoria della probabilità classica. Informazione come misura del grado di sorpresa o incertezza espressa da una distribuzione di probablità. Proprietà fndamentali e Derivazione della formula di Shannon. Altre proprieta dell'informazione di Shannon (max, min, additività, sub-additività, concavità etc.). Informazione in teoria della probabilità quantistica. Accenno alla sostanziale differenza tra statistica classica e statistica quantistica. Informazione di Von Neumann come informazione di Shannon relativa alla distribuzione di probabilità degli autostati dell'operatore densità.
Proprietà dell' informazione di Von-Neumann. Divergenza di Kullback-Leibler. Relazone tra Informazione di Von Neumann dell'operatore densità canonico e relativa entropia termodinamica. Massimo dell'entropia di Von Neumann con vincolo su valore di aspettazione dell'energia. Operatore densità canonico di un oscillatore armonico. Equazione "di diffusione" per l'operatore densità canonico. Matrice densità nella rappresentazione delle coordinate. Matrice densità in rappresentazione delle coordinate per un gas di particelle libere in una scatola. Matrice densità in rappresentazione delle coordinate per un oscillatore armonico. Teorema del viriale
Operatore densità per Bosoni e Fermioni. Somma sulle permutazioni. Gran Potenziale nel caso dei Bosoni. Considerazioni sul limite classico. Rappresentazioned di Weyl. Esempi: f(Q)+g(P), PQ, QP. Operatori di Bopp, e loro limite di h->0. Funzione di Wigner. Limite di h->0 ed emergere della distribuzione microcanonica. Limite Classico. Rappresentazione di Weyl dell'operatore di scambio, ed origine del fattore 1/(N! h^N) nell'elemento di volume di fase.
Correzioni quantistiche alla funzione di partizione classica e potenziale efficace quantistico per bosoni e fermioni non-interagenti. Cenni alla trattazione nel caso di particelle interagenti.
(non)-equivalenza tra imsiemi statistici. Nozione di equivalenza. Approssimazione di punto sella.Equivalenza parziale nel caso di transizioni di fase. Non-equivalenza sostanziale: sistemi long range. Considerazioni sull' equivalenza tra entropia di superficie ed entropia di volume.
Transizioni di fase: introduzione. Definizione, non-analiticità delle funzioni termodinamiche. Transizioni di fase nei fluidi: diagrammi di fase, curve di coesistenza, punto critico. Fenomenologia del punto critico. Fluttuazioni e divergenza delle funzioni di risposta. Transizioni di fase nei ferromagneti, temperatura di Curie. Parametro d'ordine e funzioni di correlazione. Invarianza di scala al punto critico. Esponenti critici. Definizione, esponenti termodinamici ed esponenti legati alla funzione di correlazione. Universalità. Relazioni fra gli esponenti critici.
Ruolo dei modelli nella meccanica statistica delle transizioni di fase. Modello del gas reticolare e modello di Ising. Simmetrie del modello di Ising. Assenza della transizione di fase a T finita in d=1 e presenza della transizione per dimensioni superiori: argomento di Peierls e Landau. Soluzione esatta del modello di Ising unidimensionale col metodo ricorsivo e col metodo della matrice di trasferimento.
Sviluppo di alta temperatura della funzione di partizione. Cenni sulla soluzione combinatoria del modello di Ising su reticolo quadrato: conteggio dei loop su reticolo. Generalizzazioni del modello di Ising. Modelli O(N). Classi di universalità. Sviluppo storico della teoria delle transizioni di fase. Ruolo del limite termodinamico. Teoria di Lee, Yang e Fisher: funzione di partizione come polinomio nel piano complesso, analiticità a N finito, transizione di fase come accumulazione di zeri della funzione di partizione sull'asse reale nel limite termodinamico.
Teoria di Lee, Yang e Fisher: Analogia con l'elettrostatica, densità di zeri nel limite termodinamico e sua relazione con la non-analiticità dell'energia libera. Transizioni continue e discontinue. Modello ipercubico: soluzione esatta nell'insieme canonico a N finito e infinito. Transizione di fase. Calcolo esplicito degli zeri di Fisher. Cenni sulle singolarità della densità degli stati nell'insieme microcanonico.
Rottura spontanea della simmetria. Non commutatività dei limiti termodinamico e di campo esterno nullo. Limite termodinamico singolare delle distribuzioni di probabilità. Necessità di un ulteriore parametro per definire lo stato di equilibrio. Stati puri e miscele, ruolo delle condizioni al contorno, cluster property. Medie temporali e medie statistiche, ergodicità. Scale di tempo microscopiche e macroscopiche. Dipendenza della scala di tempo macroscopica dalla taglia del sistema. Rottura dell'ergodicità.
Introduzione alle teorie di campo medio. Teoria di Van der Waals per i fluidi. Teoria di campo medio per il modello di Ising. Principio variazionale per l'energia libera. Formulazione variazionale della teoria di campo medio, in particolare per il modello di Ising. Cenni sull'approssimazione di Bethe e sul Cluster Variation Method.
Esponenti critici e funzioni di correlazione in teoria di campo medio. Modelli di campo medio: soluzione esatta del modello di Ising con interazioni a range infinito. Teoria di Landau: introduzione, definizione di parametro d'ordine, costruzione della funzione di Landau.
Teoria di Landau: esponenti critici termodinamici, descrizione delle transizioni continue e discontinue. Teoria di Ginzburg-Landau: "coarse-graining" e funzionale di Ginzburg-Landau. Funzione di partizione come integrale funzionale. Funzioni di correlazione e di risposta, esponenti critici delle funzioni di correlazione. Stima delle fluttuazioni, criterio di Ginzburg e temperatura di Ginzburg. Dimensione critica superiore.
Regione critica e sua osservabilità. Cenni sull'approssimazione gaussiana. Analisi dimensionale della teoria di Ginzburg-Landau. Fallimento della strategia perturbativa. Analisi dimensionale ed esponenti critici: dimensioni anomale. Introduzione al gruppo di rinormalizzazione: invarianza di scala al punto critico e trasformazioni di Kadanoff.
Trasformazioni di gruppo di rinormalizzazione e invarianza della funzione di partizione. Struttura dello spazio dei parametri e flusso di rinormalizzazione. Esempio di una trasformazione di rinormalizzazione in spazio reale: decimazione per il modello di Ising in due dimensioni. Punti fissi e loro bacino di attrazione. Variabili di scala, direzioni rilevanti e irrilevanti, autovalori del gruppo di rinormalizzazione.
Struttura topologica del flusso di rinormalizzazione, classificazione dei punti fissi, spiegazione dell'universalità. Scaling dell'energia libera e relazione fra autovalori del gruppo di rinormalizzazione e esponenti critici termodinamici. Leggi di scala per gli esponenti termodinamici. Scaling della funzione di correlazione: calcolo dell'esponente nu per uno spazio dei parametri unidimensionale e calcolo nel caso generale, calcolo dell'esponente eta.
Esempi di applicazione del gruppo di rinormalizzazione in spazio reale: cenni sulla decimazione per il modello di Ising 1d, decimazione approssimata per il modello di Ising 2d. Approssimazione di Migdal-Kadanoff. Cenni sul gruppo di rinormalizzazione in spazio di Fourier e sulla epsilon-expansion.