1. S. H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Westview press (1994)
2. M. Cencini, F. Cecconi, A. Vulpiani Chaos: from simple models to complex systems, World
scientific (2010)
3. P. Bergé, Y. Pomeau, Yves, C. Vidal, Order within chaos, Wiley and Sons (1984).
4. E. Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge university press (2002) [testo di livello piú
avanzato]
Obiettivi Formativi
Conoscenze acquisite: Aspetti teorici e applicativi sui sistemi dinamici
Competenze acquisite: Metodi matematici rigorosi e numerici per lo studio di modelli dinamici di interesse fisico
Capacità acquisite al termine del corso: Modellizzare e analizzare problemi fisici nel linguaggio dei sistemi dinamici (biforcazioni, caos etc).
Prerequisiti
Meccanica classica, analisi, geometria e metodi matematici della fisica
Metodi Didattici
Lezione frontale
Modalità di verifica apprendimento
Esame orale: verifica dell'apprendimento dei concetti di base anche sulla base degli esempi discussi durante il corso. Risoluzione di esercizi sui sistemi dinamici continui e discreti. E' possibile presentare un elaborato su un argomento concordato con i docenti.
Programma del corso
• Introduzione: sistemi dinamici non lineari. Pendolo doppio, pendolo calciato e mappa
standard, biliardi. Convezione di Rayleigh-Benard e derivazione del modello di Lorenz-
Salzmann. Modelli a tempo discreto per le popolazioni: la mappa logistica.
• Sistemi discreti e continui: Sezione di Poincare'. Sistemi conservativi e dissipativi:
divergenza nello spazio delle fasi.
• Equazioni differenziali: esistenza e unicità di soluzioni. Punti singolari (di equilibrio) e loro
stabilita', punti iperbolici. Varieta' lineari stabili, instabili e centrali. Caso dei sistemi
bidimensionali: fuochi e centri.
• Stabilità nel caso non lineare: funzionale di Lyapunov e teorema della Varietà Centrale.
Stabilità delle orbite periodiche e teorema di Floquet.
• Biforcazioni: definizione e codimensione. Biforcazioni con varietà centrale uni-dimensionale:
sella-nodo, transcritica e a forchetta. Forme normali.
• Esercitazione: Equazione Lotka-Volterra e oscillatore di Van Der Pol.
• Biforcazioni con varieta' centrale bidimensionale: biforcazione di Andronov-Hopf, forma
normale, casi supercritico e subcritico. Biforcazioni globali di cicli limite (cenni)
• Teorema di Poincarè-Bendixon. Biforcazioni: caso delle applicazioni. Biforcazione
subarmonica. Biforcazione di Hopf per le applicazioni, tori invarianti.
• Scenari della transizione al caos: introduzione. Scenario subarmonico, costanti di
Feigenbaum. Universalità e gruppo di rinormalizzazione.
• Biforcazione subarmonica: evidenze numeriche e sperimentali. Intermittenza e scenari di
Pomeau-Manneville tipo I e III.
• Scenario quasi-periodico di transizione al caos (Ruelle-Takens). Applicazione del cerchio e
fenomeno dell'aggancio in frequenza (frequency locking).
• Orbite periodiche della applicazione del cerchio: lingue di Arnold e scala del Diavolo. Caso
irrazionale: soluzione perturbativa e problema dei piccoli denominatori.
• Caos deterministico introduzione storica e qualitativa. Diagnostica del caos: funzione di
correlazione spettro di potenza e teorema di Wiener-Khintchine. Mappe di ritorno.
• Esponenti di Liapunov: definizione per flussi e applicazioni, teorema di Oseledec. Caso dei
flussi in R3.
• Esponenti di Liapunov per applicazioni uni-dimensionali. Mappa di Bernoulli e a tenda.
Diagramma di biforcazione della mappa logistica.
• Proprietà dinamiche del modello di Lorenz. Diagramma di biforcazione, attrattore strano,
mappa di Lorenz.
• Sistemi Hamiltoniani: richiami, condizione simplettica. Esponenti di Liapunov per flussi
Hamiltoniani e mappe simplettiche
• Esempi di applicazioni simplettiche: mappa del gatto di Arnold, mappa standard, mappa del
fornaio conservativa.
• Sistemi Hamiltoniani integrabili, variabili azione-angolo. Perturbazioni di sistemi integrabili:
teorema KAM e teorema di Poincare-Birchoff.
• Geometria frattale: dimensione frattale, box counting dimension. Esempi: insieme di Cantor,
curva di Koch.
• Dimensione di Hausdorff. Multifrattali, dimensioni frattali generalizzate e algoritmo
Grassberger-Procaccia. Meccanismo di espansione e ripiegamento in attrattori strani:
mappe del fornaio e di Hénon.
• Attrattore di Rössler, embedding e Teorema di Takens, relazione tra esponenti di Lyapunov e
dimensione attrattore: congettura di Kaplan-Yorke.
• Repulsore strano per mappa a tenda. Introduzione alla sincronizzazione. Auto-oscillatori e
cicli limite. Sincronizzazione di un oscillatore non lineare attraverso forzante periodica:
curve isocrone.
• Equazione per dinamica di fase di oscillatore forzato; Equazione di Adler e condizione di
sincronizzazione; lingue di Arnold; phase slips; sincronizzazione di ordine superiore.
Mutua sincronizzazione di due oscillatori.
• Sincronizzazione in insiemi di oscillatori globalmente accoppiati: modello di Kuramoto.
Parametro d'ordine e soluzione autoconsistente di campo medio.