Slides e dispense del corso
1. S. H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Westview press (1994).
2. M. Cencini, F. Cecconi, A. Vulpiani Chaos: from simple models to complex systems, Worldscientific (2010).
3. P. Bergé, Y. Pomeau, Yves, C. Vidal, Order within chaos, Wiley and Sons (1984).
4. M.G. Schuster, W. Just, Deterministic Chaos: An Introduction, Wiley (2005).
5. E. Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge university press (2002)
Obiettivi Formativi
Conoscenze acquisite: Aspetti teorici e applicativi sui sistemi dinamici
Competenze acquisite: Metodi matematici rigorosi e numerici per lo studio di modelli dinamici di interesse fisico
Capacità acquisite al termine del corso: Modellizzare e analizzare problemi fisici nel linguaggio dei sistemi dinamici (biforcazioni, caos etc).
Prerequisiti
Meccanica classica, analisi, geometria, metodi matematici della fisica, conoscenza di un linguaggio di programmazione.
Esame orale.
Allo studente sarà richiesto di esporre e discutere 2-3 argomenti specifici del programma. E' possibile presentare un elaborato (analitico o numerico) su un argomento concordato con i docenti, nel qual caso di porrà 1 domanda sul resto del programma.
Lo studente dovrà utilizzare un linguaggio appropriato dimostrando la comprensione dei processi principali, e di come le assunzioni di partenza determinano i risultati finali. In pratica, si chiede di esporre l’argomento oggetto della domanda come se si avesse davanti una persona che conosce solo I prerequisiti, e quindi è necessaro mostrare come logicamente da questi si ricava la conclusione.
Domande più specifiche potranno essere poste durante l'esposizione degli argomenti per meglio determinare il livello di comprensione da parte dello studente. Lo studente dovrà essere in grado di svolgere semplici esercizi, ma anche sviluppare completamente il modello matematico laddove questo sia stato presentato a lezione.
La valutazione terrà conto della capacità dello studente di esporre l’argomento con chiarezza espositiva e padronanza della materia, metodi utilizzati e risultati, evidenziando le connessioni con le tematiche più generali apprese nel corso.
L'esame dura indicativamente 30 minuti.
Programma del corso
Introduzione: sistemi dinamici non lineari. Sistemi tempo-continuo conservativi e dissipativi. Metodi di integrazione numerica (cenni). Pendolo doppio, pendolo calciato e mappa standard, biliardi. Convezione di Rayleigh-Benard e derivazione del modello di Lorenz-Salzmann.
Modelli a tempo discreto per le popolazioni: la mappa logistica.
Sezione di Poincare'. Mappa standard. Sistemi conservativi e dissipativi: divergenza nello spazio delle fasi.
Equazioni differenziali: esistenza e unicità di soluzioni. Punti singolari (di equilibrio) e loro stabilita', punti iperbolici. Varieta' lineari stabili, instabili e centrali. Caso dei sistemi bidimensionali: fuochi e centri (riassunto sintetico).
Stabilità nel caso non lineare: funzionale di Lyapunov e teorema della Varietà Centrale.
Stabilità delle orbite periodiche e teorema di Floquet.
Biforcazioni: definizione e codimensione. Biforcazioni con varietà centrale uni-dimensionale: sella-nodo, transcritica e a forchetta. Forme normali (riassunto sintetico).
Esercitazione: Equazione Lotka-Volterra e oscillatore di Van Der Pol.
Biforcazioni con varietà centrale bidimensionale: biforcazione di Andronov-Hopf, forma normale, casi supercritico e subcritico. Biforcazioni globali di cicli limite (cenni).
Teorema di Poincarè-Bendixon. Biforcazioni: caso delle applicazioni. Biforcazione subarmonica. Biforcazione di Hopf per le applicazioni, tori invarianti.
Scenari della transizione al caos: introduzione. Scenario subarmonico, costanti di Feigenbaum. Universalità e gruppo di rinormalizzazione.
Biforcazione subarmonica: evidenze numeriche e sperimentali. Intermittenza e scenari di Pomeau-Manneville tipo I e III.
Scenario quasi-periodico di transizione al caos (Ruelle-Takens). Applicazione del cerchio e fenomeno dell'aggancio in frequenza (frequency locking).
Orbite periodiche della applicazione del cerchio: lingue di Arnold e scala del Diavolo. Caso irrazionale: soluzione perturbativa e problema dei piccoli denominatori.
Caos deterministico introduzione storica e qualitativa. Diagnostica del caos: funzione di correlazione spettro di potenza e teorema di Wiener-Khintchine. Mappe di ritorno.
Esponenti di Liapunov: definizione per flussi e applicazioni, teorema di Oseledec. Caso dei flussi in R3.
Esponenti di Liapunov per applicazioni uni-dimensionali. Mappa di Bernoulli e a tenda.
Diagramma di biforcazione della mappa logistica.
Proprietà dinamiche del modello di Lorenz. Diagramma di biforcazione, attrattore strano, mappa di Lorenz.
Sistemi Hamiltoniani: richiami, condizione simplettica. Esponenti di Liapunov per flussi Hamiltoniani e mappe simplettiche
Esempi di applicazioni simplettiche: mappa del gatto di Arnold, mappa standard, mappa del fornaio conservativa.
Sistemi Hamiltoniani integrabili, variabili azione-angolo. Perturbazioni di sistemi integrabili: teorema KAM e teorema di Poincare-Birchoff.
Sistemi estesi: coupled map lattices, automi cellulari. Reticolo di Toda e modello Fermi-Pasta-Ulam. Spettro degli esponenti di Lyapunov.
Introduzione alla teoria delle reti, dinamica su rete, effetto small-world nei sistemi dinamici.
Geometria frattale: dimensione frattale, box counting dimension. Esempi: insieme di Cantor, curva di Koch.
Dimensione di Hausdorff. Multifrattali, dimensioni frattali generalizzate e algoritmo
Grassberger-Procaccia. Meccanismo di espansione e ripiegamento in attrattori strani: mappe del fornaio e di Hénon.
Attrattore di Rössler, embedding e Teorema di Takens, relazione tra esponenti di Lyapunov e dimensione attrattore: congettura di Kaplan-Yorke.
Repulsore strano per mappa a tenda. Introduzione alla sincronizzazione. Auto-oscillatori e cicli limite. Sincronizzazione di un oscillatore non lineare attraverso forzante periodica: curve isocrone.
Equazione per dinamica di fase di oscillatore forzato; Equazione di Adler e condizione di
sincronizzazione; lingue di Arnold; phase slips; sincronizzazione di ordine superiore.
Mutua sincronizzazione di due oscillatori.
Sincronizzazione in insiemi di oscillatori globalmente accoppiati: modello di Kuramoto. Parametro d'ordine e soluzione autoconsistente di campo medio.