Tecniche di analisi matematica avanzata collegare ai moderni sviluppi di fisica teorica.
Lista degli argomenti: Richiami di analisi complessa; Teorema dei residui ed applicazioni; Semplici tecniche asintotiche; Funzioni speciali; Equazioni differenziali lineari su C; Funzioni di Green; Distribuzioni (cenni).
G. Pradisi, Lezioni di metodi matematici della fisica, Collana "Appunti", Edizioni della Normale, Pisa (2012)
L.V. Ahlfors, Complex Analysis, Mc. Graw-Hill, New York (1996)
E.T. Whittaker, G.N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press (1927, reissued 1996)
Dispense di "Analisi funzionale" redatte dal Prof. D. Dominici, reperibili al link: http://theory.fi.infn.it/colomo/metodi
Ulteriori libri di testo su specifici argomenti saranno consigliati durante il corso a seconda dei diversi argomenti da approfondire.
Obiettivi Formativi
Conoscenze acquisite: nozioni avanzate di analisi di variabile complessa, equazioni differenziali e teoria delle distribuzioni.
Capacità acquisite: lo studente deve assimilare i concetti del corso e padroneggiare con sicurezza tecniche analitiche e numeriche di risoluzione di esercizi sugli argomenti del corso.
Competenze acquisite: possibiilità di capire in maniera rigorosa gli aspetti formali delle teorie fisiche moderne, sia nella loro formulazione che nel loro sviluppo tecnico.
Prerequisiti
Il corso richede una buona conoscenza delle nozioni di analisi matematica. È caldamente consigliato aver seguito il corso di "Metodi Matematici per la Fisica", e possibilmente dato l'esame.
Metodi Didattici
6 CFU
Attività in aula: 48 ore
Il corso prevede lezioni frontali con presentazione dettagliata degli argomenti teorici e svolgimento regionato di esercizi di esempio.
Altre Informazioni
La prima parte parte del corso (3 CFU) è tenuta da F. Colomo, la seconda (3 CFU) da G. Panico.
Orario di Ricevimento studenti:
su appuntamento,
colomo@fi.infn.it
giuliano.panico@unifi.it
Sito web: http://theory.fi.infn.it/colomo
Modalità di verifica apprendimento
Esame scritto con esercizi aperti inerenti il programma del corso, volto ad accertare la conoscenza degli argomenti teorici trattati e la loro applicazione pratica.
Programma del corso
Richiami di analisi complessa: Funzioni di variabile complessa; Funzioni polidrome; Tagli; Nozione di superficie di Riemann; Funzioni analitiche e olomorfe; Funzioni meromorfe; Integrazione su un cammino; Teorema di Cauchy; Sviluppo di Taylor e di Laurent; Teorema di unicità; Continuazione analitica con esempi; Trasformata di Borel; Trasformazioni conformi; Trasformazioni di Moebius; Teorema di Riemann e trasformazioni conformi. Problemi di elettrostatica 2D in regioni di forma non banale.
Teorema dei residui ed applicazioni: Teorema dei residui; Lemma di Jordan; Valor principale; Residuo all'infinito; Applicazioni; Teorema dell'indicatore logaritmico; Sviluppo in poli; Espansione di Mittag-Leffler; Trasformata di Sommerfeld-Watson; Teorema di Rouché; Prodotti infiniti e somme di
Weierstrass; Applicazioni.
Semplici tecniche asintotiche: Espansioni asintotiche; Serie asintotiche; Metodo di Laplace e Lemma di Watson; Approssimazione di Stirling; Metodo della fase stazionaria; Integrale di Fresnel; Metodo del punto-sella; Esempi.
Funzioni speciali: Funzioni Gamma di Eulero; Rappresentazione di Hankel; Lemma di Watson; Funzione Zeta di Riemann; Relazione di riflessione.
Equazioni differenziali lineari su C: Punti regolari; Soluzione per serie; Punti singolari regolari (o di Fuchs); Matrice di monodromia; Punto all'infinito; Equazioni con 1 o 2 singolarità Fuchsiane; Equazione di Eulero; Equazioni con 3 singolarità Fuchsiane; Simbolo di Papperitz-Riemann; Equazione
ipergeometrica; Serie ipergeometrica; Polinomi ipergeometrici; Confluenza; Ipergeometrica confluente.
Funzioni di Green: Metodo del Wronskiano, Metodo della funzione di Green; Teorema di Green; Problemi al contorno in una dimensione.
Distribuzioni (cenni): Spazi metrici/normati/di Banach/di Hilbert; Funzionali lineari; Spazio D delle funzioni test; Distribuzioni su D; Operazioni sulle distribuzioni; Distribuzioni temeperate; Successioni di distribuzioni; delta-famiglie; Valor principale e identità di Cauchy; Trasformata di Fourier di
distribuzioni temperate.