A) Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Universitext, 2011
Springer-Verlag New York
Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups
Graduate Texts in Mathematics, 94, 1983
Springer-Verlag New York
B) James Munkres, Topology, 2nd Edition, Pearson, 2000 (o mettiamo la prima edizione del
75)
C) Raoul Bott, Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology,
Graduate Texts in Mathematics, 82, 1982, Springer-Verlag New York
D) I.M. Singer, J.A. Thorpe,Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,
Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York
E) Loring W. Tu, Differential Geometry Connections, Curvature, and Characteristic Classes
Graduate Texts in Mathematics, 275, 2017
Springer International Publishing
Obiettivi Formativi
Gli obbiettivi del corso sono: acquisizione di conoscenza e comprensione di strumenti avanzati di topologia e geometria differenziale; sviluppo di una visione autonoma degli strumenti e dei metodi matematici, che possa essere utile nell'affrontare e sviluppare argomenti di fisica teorica, fisica matematica e sistemi complessi. Particolare enfasi viene posta sull passaggio da oggetti definiti localmente, in coordinate, a oggetti definiti globalmente: la topologia ci fornisce strumenti per capire, ad esempio, che ci possono essere ostruzioni, che dipendono dalla "forma" dello spazio che si sta considerando, per passare da una struttura locale a una globale.
Prerequisiti
Algebra lineare, calculus.
Metodi Didattici
L'approccio cerca di coniugare l'approfondimento matematico con un programma piuttosto vasto e avanzato, partendo da prerequisiti di base che vengono comunque rivisti e spiegati. Le lezioni, frontali alla lavagna, prevedono la partecipazione attiva degli studenti e delle studentesse, attraverso domande e discussione sui temi affrontati.
Altre Informazioni
Il corso si tiene al Dipartimento di Fisica ed è mirato per le/gli studentesse/i dei corsi di laurea in Fisica. E' un corso della laurea magistrale ma non richiede particolari prerequisiti e può essere seguito anche all'interno della laurea triennale. Per ogni ulteriore informazione contattare la docente
Modalità di verifica apprendimento
La prova finale è orale. Si verificherà l'apprendimento e la piena comprensione delle nozioni trattate durante il corso; l'acquisizione di un quadro organico di conoscenze e di metodi; la qualità dell'esposizione e del lessico specialistico utilizzato, la sicurezza e l'efficacia con cui lo studente affronta le questioni che emergono nello svolgimento della prova orale.
Programma del corso
Introduzione alle varietà differenziabili e gruppi di Lie.
Elementi di algebra multilineare.
Partizioni dell'unità.
Algebra delle forme differenziali e differenziale di una forma.
Complesso di De Rham di una varietà differenziabile, anche a supporto compatto.
La successione di Mayer-Vietoris.
Orientazione, integrazione e teorema di Stokes.
Omotopia.
Lemma di Poincaré e invarianza per omotopia.
Omologia simpliciale e Teorema di De Rham.
Fibrati Principali: definizioni ed esempi fondamentali, funzioni di transizione, sezioni e banalizzazioni locali.Classificazione dei fibrati principali con gruppi U(2), SU(2) e SO(3) su sfere n-dimensionali; cenno alla classificazione dei G-fibrati principali su una varieta' M mediante H^1(M,G).
Fibrati associati: definizioni ed esempi fondamentali, fibrati vettoriali, gruppo di Gauge.
Formula di Künneth e Teorema di Leray-Hirsch (senza dimostrazione).
Connessioni su Fibrati: definizioni ed esempi fondamentali, forme di connessione, sollevamenti orizzontali e trasporto parallelo.
Forma di Curvatura e sue interpretazioni geometriche.
Olonomia. Cenno alle classi caratteristiche.
Il funzionale di Yang-Mills.